حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از شبکه های عصبی توابع پایه شعاعی انتگرال گیری شده با الگوریتم آموزش تطبیقی

چکیده:

معادلات دیفرانسیل جزئی از مدل بندی ریاضی مسایل فیزیک و مهندسی حاصل می شوند. لیکن، امکان ارائه یک جواب تحلیلی برای این معادلات همواره مقدور نمی باشد. بنابراین، پژوهشگران علوم و مهندسی برای حل این   مسائل به روش های گسسته سازی عددی مانند تفاضلات متناهی (FDM)،روش عناصر متناهی (FEM)، و...روی آورده اند. اما در بیشتر موارد این روش ها برای کسب   مرتبه بالایی از دقت، به شبکه بندی   چگال تری احتیاج دارند، علاوه بر این شبکه بندی نواحی غیر هندسی یا شبکه بندینواحی در بعد بالاتراز دو کار ساده ای نیست. در دو دهه اخیر، از شبکه های عصبی مصنوعی (A  )برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده شده است.شبکه عصبی مصنوعی یک سامانه پردازشی داده‌هاست که از مغز انسان ایده گرفته و پردازش داده‌ها را به عهده پردازنده‌های کوچک و بسیار زیادی سپرده که بصورت شبکه‌ای به هم پیوسته و موازی با یکدیگر رفتار می‌کنند تا یک مسئله را حل نمایند. در این شبکه‌ها به کمک دانش برنامه‌نویسی، ساختار داده‌ای طراحی می‌شود که می‌توان همانند نرون عمل کند، که به این ساختار داده گره گفته می‌شود. شبکه عصبی توابع پایه شعاعیRBFNیک نوع از شبکه های عصبی مصنوعی است کهیک لایه ورودی، یک لایه مخفی و یک لایه خروجی دارد. نرون‌های لایه مخفی واحدهای چندبعدی هستند که ابعاد آنها برابر است با تعداد ورودی‌ها . لازم به ذکر است در ساختار شبکه‌های معمولی مانند پرسپترون چندلایه(MLP) نرون‌های لایه‌های میانی (مخفی) دارای توابع خطی یا غیرخطی مانند:سیگموئید، هایپربولیک، تانژانتیو غیره می‌باشند. در حالی که نرون‌های لایه‌های مخفی در شبکه RBFN شامل توابع غیرخطی گوسی هستند.مفهوم استفاده از شبکه عصبی توابع پایه شعاعی RBFN در حل PDE، نخستین بار در سال 1990 توسط کنسا(Kansa) مطرح شد]3،4[. در این روش کنسا معادلات حاکم بر کل دامنه و کران را بر توابع پایه شعاعی اعمال کرد،سپس در شرایط درونیابی قرار داد. برخی از مقالات برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی از توابع پایه شعاعی به روش هم مکانی استفاده کرده اند .مایدی (Mai-Duy)و ترن –کانگ (Tran-Cong)روش شبکه عصبی توابع پایه شعاعی انتگرال یافته درجه دو چند متغیره را برای بر آورد توابع و مشتقات آنها ارائه کردند]6،7[. ویژگی های IRBFN، توسط سارا (Sarra)بررسی شد]8[. نتایج عددی و تحلیل نظری نشان می دهد که در حلPDEs ، روش IRBFN نسبت به روش RBFN دقیق تر عمل میکند. ویژگی اصلی روش های بر مبنای شبکه های عصبی این است که نیاز به شبکه بندی ندارند. به همین دلیل این روش را به سادگی می توان به مسائل با بعد بالاتر تعمیم داد.